Ensembles finis Exemples

$4 \log_{5} (\sqrt{6 x - 1}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2

Définissez l’argument dans $\log_{5} (\sqrt{6 x - 1})$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{6 x - 1} \leq 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{6 x - 1}}^{2} \leq 0^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 x - 1}$ comme ${(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez ${({(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(6 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Étape 3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(6 x - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Simplifiez

$6 x - 1 \leq 0^{2}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$6 x - 1 \leq 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$6 x \leq 1$

Étape 3.3.2

Divisez chaque terme dans $6 x \leq 1$ par $6$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x \leq 1$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{1}{6}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{1}{6}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{1}{6}$

Étape 3.4

Déterminez le domaine de $\sqrt{6 x - 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{6 x - 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$6 x - 1 \geq 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$6 x \geq 1$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $6 x \geq 1$ par $6$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x \geq 1$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} \geq \frac{1}{6}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} \geq \frac{1}{6}$

Étape 3.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{1}{6}$

Étape 3.4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[\frac{1}{6}, \infty)$

Étape 3.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{1}{6}$

$x > \frac{1}{6}$

Étape 3.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 3.6.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{6 (0) - 1} \leq 0$

Étape 3.6.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 3.6.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{6 (3) - 1} \leq 0$

Étape 3.6.2.3

Le côté gauche $4.12310562$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.6.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{1}{6}$ Faux

$x > \frac{1}{6}$ Faux

$x < \frac{1}{6}$ Faux

$x > \frac{1}{6}$ Faux

Étape 3.7

Comme aucun nombre ne se trouve dans l’intervalle, l’inégalité n’a pas de solution.

Aucune solution

Étape 4

Définissez l’argument dans $\log_{5} (\frac{5}{x})$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\frac{5}{x} \leq 0$

Étape 5

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

Étape 5.2

Déterminez le domaine de $\frac{5}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 5.2.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5.3

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 0$

Étape 6

Définissez le radicande dans $\sqrt{6 x - 1}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$6 x - 1 < 0$

Étape 7

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$6 x < 1$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $6 x < 1$ par $6$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x < 1$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} < \frac{1}{6}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} < \frac{1}{6}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{1}{6}$

Étape 8

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x < \frac{1}{6}$

$(- \infty, \frac{1}{6})$

Étape 9